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次梯度以及一阶最优性条件
若下述不等式成立：
[latex]f(z) \geqslant{f(x)} + <z-x, y>, \forall z \in X.[/latex]
则我们说[latex]y\in X[/latex]是函数[latex]f \in \Gamma _0(X)[/latex]在[latex]x \in X[/latex]点上的一个次梯度，并且属于[latex]f[/latex]在该点(用[latex]\partial f(x)[/latex]表示)的一个次微分。
上述不等式表明函数[latex]f[/latex]的图像(graph)是由不等式右侧定义的超平面所(hyperplane)支撑的。一个次梯度因此也是这众多支持超平面其中一个的“斜率(slope)”。如果该函数在点[latex]x[/latex]处可微，则这样的次梯度有且仅有一个（即标准梯度），与此对应地，也只有一个支持超平面。相对地，如果一个函数在点[latex]x[/latex]处不可谓（比如，在[latex]x[/latex]处有个扭曲）那么就能有无穷多个支持超平面，并且相对应地，在该点的次微分是一个连续的次梯度的集合。
一个典型的例子是绝对值函数[latex]f(x)=|x|[/latex]，它在0点是不可导的。但在这个点上，它可以由[latex]l(x)=\alpha x, \alpha \in [-1,1][/latex]组成的所有直线支持。这个集合即该函数在0点的次微分，用[latex]\partial f(0)[/latex]表示。
函数[latex]f(x)=|x|[/latex]的演示（粗线表示）以及其中两个支持直线（虚线表示）。这两条支持直线都有次微分[latex]\partial f(0)[/latex]中的斜率。注意，那条水平线也是支持超平面之一，表明[latex]0 \in \partial f(0)[/latex]。并且因此由一阶条件(下文定义)，这个函数在原点有一个极小值。
现在，通过定义非限制问题中的一个最优点[latex]x^{\#}[/latex]，必有[latex]f(z) \geqslant{f(x^{\#}) + <z-x, 0>}, \forall z \in x [/latex]，并且因此0必须是函数[latex]f[/latex]在[latex]x^{\#}[/latex]点处的一个子梯度。
这就是一阶最优性条件(FOC)：
[latex]x^{\#} \in arg min_{x}{f(x)} \Longleftrightarrow 0 \in \partial f(x^{\#})[/latex]
如果我们将次微分看做一个运算符那么，直观地，寻找极小可以看做“逆转”次微分并计算它在点0的值的过程，即[latex]x^{\#}=(\partial f)^{-1} (0)[/latex]。我们稍后再进一步介绍，但这个逆转次微分运算符的思路是非常重要的。
在继续之前，有必要提一下（并且这并不难理解）下述包含关系对于次微分的和是成立的：
[latex]\sum_{i}{\partial f_i} \subseteq \partial \sum_{i}{f_i} [/latex]
对关注的大部分问题而言，上述关系可以强化为相等的关系， 但注意如果[latex]0 \in \sum_{i}{\partial f_i (x^\dagger)}[/latex]，则上述包含关系意味着[latex]0 \in \partial \sum_{i}{f_i (x^\dagger)}[/latex]，这对于证明[latex]x^\dagger[/latex]是个极小值而言（这正是我们最感兴趣之处）足矣。